"HOLA A TODOS" 
ESCUELADUPERIOR DE FORMACION DE MAESTROS
"ANGEL MENDOZA JUSTINIANO"
ESPECIALIDAD: MATEMATICA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Lenguaje algebraico | ||
Valor numérico Las expresiones algebraicas indican operaciones con números desconocidos. Por ejemplo, si un operario cobra 15 € por el desplazamiento y 20 € por cada hora , la expresión algebraica 15 + 20x indica el importe que cobrará por un número desconocido x de horas de trabajo. Y si queremos averiguar cuanto cobrará por trabajar 2 horas sustituiremos x por 2. Observa: 15+20x De esta forma hemos hallado el valor numérico de 15 + 20x para x = 2 y hemos obtenido 55.
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2. Monomios | |||||||||||||
Características Las siguientes expresiones algebraicas: 8x3 2x4 3x Están formadas por el producto de un número y de una letra. Reciben el nombre de monomios. Un monomio está formado por un coeficiente y por una parte literal. Observa:
Si un monomio está formado por una única letra su coeficiente es 1. El coeficiente de x7 es 1. El grado de un monomio es el exponente de la letra. El grado de 8x3 es 3, el de 2x4 es 4 y el de 3x es 1. |
Suma y resta
Observa que los monomios 12x3 y 4x3 tienen la misma parte literal. Reciben el nombre de monomios semejantes.
Observa que los monomios 12x3 y 4x3 tienen la misma parte literal. Reciben el nombre de monomios semejantes.
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.
12X3 +4X3 = 16X3
Si los monomios no son semejantes la suma o resta se deja indicada. Si una expresión algebraica está formada por monomios no todos ellos semejantes, únicamente se suman o restan los que son semejantes entre si.
Esta operación recibe el nombre de reducción de términos semejantes.
Producto
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales.
Se suman los exponentes: 4+4=7
8x3 *5x4 =8*5x3*x4 =40x7
Para multiplicar un número por un monomio se multiplica el número por el coeficiente del monomio y se deja la misma parte literal.
2*10x4=20x4
Así, el resultado obtenido tanto al multiplicar dos monomios como al multiplicar un número por un monomio es un monomio.
A) Traduce a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número.
2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.
4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades
Solución: 5(2x-5)
5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x.
x
B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:
El área del circulo de radio x | (x +y)2= x2+ y2+ 2xy |
Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5 | E = v .t |
El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto | x2+ y2 (1) |
Media aritmética de tres números | x2 |
C) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:
1. 2x +1 para x =0
2. x2 + y2 para x =1 , y =3
3. (1-2x)(1+ 2x) para x = 2
4. x2+ y2+ 2xy para x =1, y =2
5. –2x2y3 para x =2, y = 2
D) Identidades notables.
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Diferencia de cuadrados
1) Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (x +2)2
b) (x -1)2
c) (2x +3)2
d) (x +2)(x –2)
e) (2x –1)(2x +1)
f) (3x – y)2
g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2
h) (x -1)3
i) (x +5)2-(x-3)2
2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 3x4 -2x2
b) x2 –1
c) x2 +6x +9
Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9
d) x2 + 4 +4x
e) 4x2-y2
f) 9 –6x +x2
g) 2x –4x2y
h) x2 +x y +x z +y z
Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)
i) a x –ay –b x +by
3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos
a) x2+ 2x+.....
b) 4x2 + 8x+......
Solución: 4x2 + 8x +4 = (2x +2)2
c) 9x2 -....+ 16
E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:
1. –2x2y3 2. . x2+ y2+ 2xy
3. (x +5)2-(x-3)2
4. 7x5-3x2-6x4+2+x
F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.
1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4)
2) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
3) (3x3 –x + 5) (2x3 +1)
4) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)
G) Divide los siguientes polinomios:
1) 5 x3y2z4 : 3 x2z2
1) 5 x3y2z4 : 3 x2z2
2) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
3) (2x3 +6x2 +11x+4) : (x-3)
4) (x4 -6x3 +5x2-4x+1): (x2 –x +5)
5) (x3 +6x2 +5x+4): (x2 –3x +1)
Solución
x3 + 6x2 +5x +4 x2 –3x +1
-x3 +3x2 -x x +9
/ 9x2 + 4x +4
-9x2 + 27x-9
/ 31x –5
7) (x4 -5x3 +3x2-2x+5): (x2 +x -3)
Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes
Ejemplo. Divide x3-3x2+ 5x-7 entre (x-3)
El cociente es x2+5 y el resto 8
1) (x3 –x2 -16x -3): (x -3)
Solución: Utilizando Ruffini quedaría
Nos queda que el cociente es x2 +2x – 10 y el resto -33
1) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
2) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2)
3) (x3 + 1) : (x +1)
4) (–x4 +2x3 +5x -3):(x+3)
Ampliación
Teorema del resto.
El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a,
R =P(a).
Ejemplo: El resto de la división ( x3 -2x2 +3x -4):(x-1) es:
13-2.12+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)
1. Calcula el resto de la división (x3 –x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla
2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:
a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4, Q(x) = (x-2)
b) P(x) = x4 -2x3 +3x2 –k x -5; Q(x) = (x +1)
2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x4 –k x3 +3x2 – x +4 entre el binomio x +2 nos dé15.
Factorización
Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también descomposición en factores del polinomio).
Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.
Ejemplo: Factoriza x3-5x2+ 4x
Solución
En primer lugar se saca factor común x, x3-5x2+ 4x =x(x2-5x+4)
El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.
por tanto los factores son (x-4) y (x-1)
El polinomio factorizado es: x(x-4)(x-1).
Nota: También podría haberse usado Ruffini para el cálculo de las raíces, ya que son enteras
d) x3 -11x2 +34x -24
e) x4 -11x3 +33x2 -9x -54
FOTOS DE LA ESPECILIDAD DE MATEMAATICA
RESEÑA HISTORICA -ESFM "ANGEL MENDOZA JUSTINIANO"
DESCRIPCION DE LOS ANTECEDENTES HISTORICOS
DE LA ESFM "ANGEL MENDOZA JUSTINIANO"
Por Resolución No. 793 de fecha 22 de octubre de 1973, se creó el Instituto de Educación Urbana e Oruro, su primer Director, el Prof. Andrés Aguilar acompañado por un selecto grupo de profesores para la formación de Maestros del ciclo Básico e Intermedio denominado posteriormente Escuela Normal Superior de Oruro (ENSO).
El 19 de octubre de 1979, por R.M. No. 687, fue nominada oficialmemte como Escuela Normal Superior "Angel Mendoza Justiniano" de Oruro y se logra la Primera la Primera Institucionalización de cargos como conquista el magisterio orureño, el 15 de junio de 1980, la Federación Sindical de Trabajadores Mineros de Bolivia, dona el actual terreno con una extensión de 20.000 metros cuadrados colindante a los terrenos de las cooperativas de vivienda Minera, zona noroeste y en 1982 se edectúa la construcción de su propio edificio.
En el año 1983, por las transformaciones del Sistema de Formación Docente es denominada "Escuela Normal Integrada "Angel Mendoza Justiniano" de Oruro.
En los años 1999 - 2003 en el marco normativo de la Ley 1565 de la Reforma Educativa, se transforma en Instituto Normal Superior "Angel mendoza Justiniano" de Oruro y es adscrita para su administración a la Universidad de Aquino Bolivia, cuyo aporte fue muy significativo.
A partir del año 2004 hasta 2006, el INS "AMJ" es administrado por la Universidad Técnica de Oruro gracias al convenio Ministerio de Educación y Universidad Técnica de Oruro, refrendado por el Lic. Donato Ayma Rojas Ministro de Educación, donde se logra grandes aportes al Sistema Educativo Local y Nacional.
En el año 2007, por decisión del gobierno democrático,las políticas de cambio y transformación del Sistema Educativo Nacional, el INS pasa a la asministraxión del Ministerio de Educación y Culturas durante la gestión del Lic. Félix Patzi, Ministro de Educación y Culturas, Este año estrena su nueva y moderna infraestructura.
Finalmente el año 2008, se logra el proceso de Institucionalización de cargos Directivos, Docentes y Administrativos al servicio de la comunidad normalista, con las designaciones de las siguientes autoridades: Mg.Sc. Lic. Marina Albina Blacutt Villegas, como Directora General, Lic, Daysi Burgoa Rasguido, Directora Académica y Lic. Freddy Néstor Choque Rodríguez como Director Administrativo Financiero, quienes en la actualidad se hacen cargo de la conducción de la Ahora denominada , Escuela Superior de Formación de Maestros "Angel Mendoza Justiniano" siempre al servicio de la Educación y formando docentes con capacidad científica y un alto sentido de responsabilidad social.
VISION
"Ser Líder en Formación Docente de calidad en Bolivia y
Latinoamérica.
Latinoamérica.
